2変数のヤコビ予想は、どの方針で解決できるでしょうか？

2026年7月、3変数のヤコビ予想に対する明示的な反例が公表されました。Levent Alpögeの投稿では、数学者Akhil Mathewが問題を提示し、AIモデルFableを用いた探索が行われたとされています。

ただし、人間とAIの詳しい役割分担や使用されたプロンプトは公開されていません。誰でもAIに質問すれば解けるという話ではなく、専門家による問題設定、候補の選別、数学的検証を前提に、AIが探索を支援した事例と考えるのが適切です。

ヤコビ予想は、複素数体上の多項式写像

について、ヤコビ行列式が非零定数ならば、$F$ が多項式による逆写像を持つかを問う問題です。

現在の状況は次のとおりです。

• $n=1$：成立
• $n\ge 3$：反例により不成立
• $n=2$：未解決

3変数の反例では、ヤコビ行列式が恒等的に非零定数である一方、相異なる複数の点が同じ点へ写されるため、写像は単射ではなく、多項式逆写像を持ちません。また、恒等写像の座標を追加することで、すべての $n\ge 3$ に反例を拡張できます。

そこで、未解決の2変数の場合について、反例候補、成立を示す証明方針、既知結果の整理、数式処理による検証、AIとの対話から得られた着想と独立検算を持ち寄るため、この問いを投稿しました。

反例候補だけでなく、3変数の反例の構成がなぜ2変数にはそのまま適用できないのか、2変数特有の代数的・幾何学的制約があるのかという分析も募集します。

AIとの対話結果を共有する場合は、AIの回答だけを根拠とせず、手計算、数式処理、再現可能なコード、既存文献との照合などによる独立した検証を添えてください。

詳しい数学的解説は、Terence Taoによる解説をご覧ください。